不定方程是數論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元 世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程.中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元 世紀的《張丘建算經

該書方程章第十三題是有名的“五家共井”問題，它的內容是：五戶人家合用一口井，若用甲家的繩2條，乙家的繩1條接長，從井口放下去，正好抵達水面;或用乙家的繩3條，丙家的繩1條;或用丙家的繩4條，丁家的繩1條;或用丁家的繩5條，戊家的繩1條;或用戊家的繩6條，甲家的繩1條接長，也都一樣正好抵達水面，問井的深度及各家的繩長各為多少?

由于原題包含有兩個以上的未知量，它沒有給出答案的范圍和別的特定條件，因此列出方程后有無窮多組解，這樣的方程就稱為“不定方程”。

如果該題的長度單位是寸(1尺=10寸，1米=3尺)，那么它的最小正整數解如下：井深721寸，甲家的繩長為265寸，乙家的繩長為191寸，丙家的繩長為148寸，丁家的繩長為129寸，成家的繩長為76寸。

不定方程是指未知數個數多于方程個數，且對解有一定限制(比如要求解為正整數等)的方程.如果對于方程組來說未知數的個數大于方程組的個數，這樣的方程組叫做不定方程組或者叫多元方程組。研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解;②有解時確定解的個數;③求出所有的解.在處理多元的不定方程當中，一般通過聯立各個方程，消去那些暫時不用或者限制條件較少的未知數，將多元方程組轉化成二元的整系數不定方程進行處理。不定方程在小學奧數題目當中經常出現，比如以下的問題：

【例1】袋子里有三種球，分別標有數字2，3和5，小明從中摸出12個球，它們的數字之和是43。問：小明最多摸出幾個標有數字2的球?

假設摸出標有數字2，3，5的球分別有x，y，z個那么根據題意可得如下方程組：

消掉z可得

，當y取1的時候x有最大值5，所以最多可以取出5個。標有數字2的球。

由于公考行測數學運算的題目是包含大部分奧數的知識點的，所以在考試當中不定方程的題目經常出現，國考考察的較多，吉林省考在2011年也考察了不定方程的問題， 方程法在數學運算考試當中的應用非常廣泛，對于基本的方程和方程組直接用代入消元法和加減消元法可以直接求解，而對于方程當中的不定方程和不定方程組直接求解是求解不了的，在公務員考試當中不定方程主要是通過代入排除法和數字特性的方法解決。比如以下的問題：

【例2】裝某種產品的盒子有大、小兩種，大盒每盒裝11個，小盒每盒裝8個，要把89個產品裝入盒內，要求每個盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個?( )

A.3，7 B.4，6

C.5，4 D.6，3

假設大盒子的個數為x，小盒子的個數為y，根據題意可得

，代入選項只有A答案符合，不同于小學奧數的做法是由于公考數學運算當中的題目有選項的存在，所以對于部分不定方程的問題我們可以采取代入排除的問題解決。

另外對于不定方程還可以采取數字特性的方法來求解，包括奇偶特性和余數特性，如下面的兩道題。

【例3】(吉林2011)一個質數的3倍與另一個質數的2倍之和等于20，那么這兩個質數的和是( )。

A. 9 B. 8

C. 7 D. 6

設兩個質數分別為x，y根據題意可得方程

，20為偶數，2y也為偶數，推出3x必為偶數，那么x即為偶數，并且x還是質數，所以x=2，代入方程可以求得y=7，所以兩個質數的和為9。

【例4】超市將99個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個裝12個蘋果，小包裝盒每個裝5個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個?( )

A.3 B.4

C.7 D.13

假設大包裝盒的個數為x，小包裝盒的個數為y，根據題意可得

，99為奇數，12y為偶數，推出5y必為奇數，5y為奇數，則5y的尾數必為5，，說明12x的尾數必為4，并且12x要小于99，那么x只能取2或者7，當x取7的時候代入方程可求得y=3，大小盒子共十個，而題干當中告訴我們用了十多個盒子所以不符合題意，舍去，x只能等于2，解得y=15，所以兩種包裝盒相差了13個。

在數學運算中不定方程組的解法可以通過消元法和代入排除法求解。

【例5】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢( )。

A.10元 B.11元

C.17元 D.21元

設簽字筆、圓珠筆、鉛筆每只的價格分別為x、y、z。根據題意可得如下方程組

得到 ，同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用10元錢，或者可以代入選項用代入排除的方法求解也是可以的。

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